高斯消元法

2026-04-252026-04-25

模版题

通过初等行列变换：

• 完美阶梯型 唯一解
• 零 = 非零 无解
• 零 = 零 无穷解

操作步骤：

1. 把对角线左下部分消掉
2. 把对角线右上部分消掉
3. 只剩对角线上的系数

有哪些行列变换？

• 把某一行乘一个非零数
• 交换某两行
• 把某行的若干倍加到另一行

const int N = 110;
const double eps = 1e-6;

int n;
double a[N][N];

/**
 * 返回值：0 有唯一解；1 有无数解；-1 无解
 *
 */
int gauss() {
    int c, r;
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++) {
        int t = r;
        for (int i = r; i < n; i ++) { // 找到当前这一列绝对值最大的一行
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c])) t = i; // fabs abs的double版
        }
        if (fabs(a[t][c] < eps)) continue;

        for (int i = c; i < n + 1; i ++) swap(a[t][i], a[r][i]);
        for (int i = n; i >= c; i --) a[r][i] /= a[r][c]; // 把第一个系数除成1

        for (int i = r + 1; i < n; i ++) {
            if (fabs(a[i] > eps)) {
                for (int j = n; j >= c; j --) {
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
                }
            }
        }
        r ++;
    }

    if (r < n) { // 不是唯一解
        for (int i = r; i < n; i ++) {
            if (fabs(a[i][n]) > eps) return 2; // 无解
        }
        return 1;  // 无穷解
    }

    for (int i = n - 1; i >= 0; i --) {
        for (int j = i + 1; j < n; j ++) {
            a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];
        }
    }
    return 0; // 唯一解
}

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j ++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }

    int t = gauss();

    if (t == 0) {
        for (int i = 0; i < n; i ++) printf("%.2f\n", a[i][n]);
    } else if (t == 1) puts("0");  // 无穷解
    else puts("-1");  // 无解
}